ANÁLISIS COMPARATIVO DE LA CURVATURA EN CURVAS CÓNICAS: ELIPSE, PARÁBOLA E HIPÉRBOLA

Objetivo: Analizar y comparar el comportamiento de la curvatura en tres curvas cónicas fundamentales: la elipse, la parábola y la hipérbola, a partir de parametrizaciones específicas, con el fin de identificar sus propiedades geométricas distintivas desde la geometría diferencial. Métodos: Se emplearon parametrizaciones canónicas para cada cónica y se aplicó la fórmula general de curvatura para curvas planas parametrizadas. El estudio se desarrolló mediante cálculo analítico de derivadas de primer y segundo orden, complementado con verificación computacional para evaluar numéricamente la función curvatura y generar representaciones gráficas que faciliten la comparación entre las curvas. Resultados: En la elipse, la curvatura presentó un comportamiento periódico y acotado, con valores máximos y mínimos bien definidos. En la parábola, la curvatura alcanzó su valor máximo en el vértice y disminuyó progresivamente conforme el parámetro aumenta en valor absoluto. En la hipérbola, la curvatura también fue máxima en el vértice y mostró un decrecimiento rápido, evidenciando un comportamiento asintótico hacia cero. En los tres casos, se identificaron patrones diferenciados asociados a la naturaleza geométrica de cada curva. Conclusión: El análisis comparativo permitió establecer diferencias claras en el comportamiento de la curvatura entre curvas cerradas y abiertas. La elipse mantiene una curvatura acotada, mientras que la parábola y la hipérbola presentan un decrecimiento asintótico. Estos resultados confirman que la curvatura es una herramienta eficaz para caracterizar y distinguir geométricamente las curvas cónicas desde un enfoque diferencial.